অঙ্ক, সংখ্যা ও বিভাজ্যতা এর সূত্র ও নিয়মাবলি

অঙ্ক ও সংখ্যা (Digit and Number)

অংক ও সংখ্যা নয়। 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0—এই দশটি হল অঙ্ক বা প্রাথমিক সংখ্যা। গণিতের সব সংখ্যাই এই দশটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত। সুতরাং, অঙ্ক ও সংখ্যা এক নয়। অক ও সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য হল—

1. যে-কোনাে অঙ্কই সংখ্যা কিন্তু যে-কোনাে সংখ্যা অঙ্ক নয়।

2. একটি সংখ্যায় একাধিক অঙ্ক থাকতে পারে অর্থাৎ একাধিক অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা হয়, কিন্তু একাধিক অঙ্কবিশিষ্ট অঙক হয় না।

উদাহরণ: 275 একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা, যার অঙ্কগুলি 2, 7 ও 5।

অঙ্কের মান (value of Digit)

প্রতিটি অঙ্কের দু প্রকার মান থাকে— 1. পরম মান বা নিজস্ব মান বা স্বকীয় মান (absolute or intrinsic or face value) এবং 2. স্থানীয় মান (place value)।

উদাহরণ: 346852 সংখ্যাটিতে 8 -এর নিজস্ব বা স্বকীয় বা পরম মান 8 কিন্তু স্থানীয় মান 800।

সংখ্যার শ্রেণীবিভাগ (Classification of Numbers)

1. স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural numbers)

যে সমস্ত সংখ্যা কোনাে কিছু গণনা করতে ব্যবহৃত হয়, সেগুলিকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যাগুলিকে একত্রে ‘N ‘ দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ: N = {1, 2, 3, 4, 5, … }

2. অখণ্ড সংখ্যা (Whole numbers)

শূন্যসহ স্বাভাবিক সংখ্যাগুলিকে অখণ্ড সংখ্যা বলে। অখণ্ড সংখ্যাগুলিকে একত্রে ‘w’ দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ: W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

3. পূর্ণসংখ্যা (Integers)

অখণ্ড সংখ্যা ও ঋণাত্মক সংখ্যাসহ সকল সংখ্যাগুলিকে পূর্ণসংখ্যা বলে।  পূর্ণসংখ্যাগুলিকে একত্রে ‘1’বা’z’দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ: I = {…, -4,-3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

4. মৌলিক সংখ্যা (Prime numbers)

যে সংখ্যাগুলির 1 ও সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনাে উৎপাদক নেই, সেই সংখ্যাগুলিকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

উদাহরণ: 2, 3, 5, 7, 11 ইত্যাদি।

5. যৌগিক সংখ্যা (Compound. Composite numbers)

যে সংখ্যাগুলির 1 ও সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য উৎপাদকও বর্তমান, সেই সংখ্যাগুলিকে যৌগিক সংখ্যা বলে।

উদাহরণ: 4, 6, 8, 9, 10 ইত্যাদি।

6. যুগ্ম বা জোড় সংখ্যা (Even numbers)

যে সংখ্যাগুলি 2 দিয়ে বিভাজ্য, সেই সংখ্যাগুলিকে যুগ্ম বা জোড় সংখ্যা বলে।

উদাহরণ:  \pm 2,\pm 4,\pm 6,\pm 8  ইত্যাদি।

7. অযুগ্ম বা বিজোড় সংখ্যা (odd numbers)

যে সংখ্যাগুলি 2 দিয়ে বিভাজ্য নয়, সেই সংখ্যাগুলিকে অযুগ্ম বা বিজোড় সংখ্যা বলে।

উদাহরণ:  \pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 7  ইত্যাদি।

8. ক্রমিক সংখ্যা (Consecutive numbers)

যে সংখ্যার শ্রেণিতে প্রতিটি সংখ্যা ঠিক তার পূর্ববর্তী সংখ্যার থেকে 1 বড়াে ও পরবর্তী সংখ্যার থেকে 1 ছােটো, সেই সংখ্যাশ্রেণিকে ক্রমিক সংখ্যা বলে।

উদাহরণ: 5, 6, 7; 11, 12, 13 ইত্যাদি।

9. মূলদ সংখ্যা (Rational numbers)

যে সংখ্যাগুলিকে দুটি পূর্ণসংখ্যা p ও q-এর অনুপাতরূপে প্রকাশ করা যায় (যেখানে  q \neq 0) সেই সংখ্যাগলিকে মূলদ সংখ্যা বলে।

উদাহরণ:  \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{-4}{5},0  ইত্যাদি।

10. অমূলদ সংখ্যা (Irrational numbers)

যে সংখ্যাগুলিকে কখনােই দুটি পূর্ণসংখ্যা p ও q -এর অনুপাতরূপে প্রকাশ করা যায় না  (যেখানে  q \neq 0) , সেই সংখ্যাগুলিকে অমূলদ সংখ্যা বলে।

উদাহরণ:  \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}  ইত্যাদি।

11. বাস্তব সংখ্যা (Real numbers)

সব মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার সমষ্টিকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যে-কোনাে বাস্তব সংখ্যার অন্যতম বৈশিষ্ট্য হল এই যে তার বর্গের মান সর্বদাই ধনাত্মক হয়।

উদাহরণ:  2, 5, \frac{-3}{4}, \sqrt{2}  ইত্যাদি।

12. পরস্পর মৌলিক সংখ্যা (Co-prime numbers)

দুটি সংখ্যার মধ্যে 1 ভিন্ন অন্য কোনাে সাধারণ উৎপাদক না থাকলে সংখ্যা দুটিকে পরম্পর মৌলিক সংখ্যা বলে। দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার কোনাে একটি বা দুটি উভয়েই মৌলিক সংখ্যা না হয়ে যৌগিক সংখ্যাও হতে পারে।

উদাহরণ: 8, 9 বা 15, ইত্যাদি।

মৌলিক সংখ্যা ও যৌগিক সংখ্যা সংক্রান্ত টিপস

1. ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 2

2. ক্ষুদ্রতম যৌগিক সংখ্যা = 4

3. ক্ষুদ্রতম জোড় যৌগিক সংখ্যা = 4 ও ক্ষুদ্রতম বিজোড় যৌগিক সংখ্যা = 9

4. একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা = 2

5. একমাত্র ক্রমিক বা পরপর দুটি মৌলিক সংখ্যা = 2 ও 3

6. দুটি মৌলিক ও পরস্পর মৌলিক সংখ্যার সাধারণ উৎপাদকের সংখ্যা = 1 টি

7. দুটি মৌলিক ও পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গসাগু । 1 ও লসাগু = সংখ্যা দুটির গুণফল

8. এক অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 2 ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = 7

9. দুই অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 11 ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা। = 97

10. তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 101 ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = 997

শূন্য সংক্রান্ত টিপস

1. শূন্য সংখ্যাটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক কোনােটিই নয়।

2. শূন্যকে যে-কোনাে সংখ্যার সঙ্গে যােগ করলে যােগফল সর্বদাই সংখ্যাটির সমান। উদাহরণ : 5 + 0 = 5

3. শূন্যকে যে-কোনাে সংখ্যা থেকে বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল সর্বদাই সংখ্যাটির সমান। উদাহরণ : 5 – 0 = 5

4. শূন্য থেকে যে-কোনাে সংখ্যা বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল সর্বদাই সংখ্যাটির ঋণাত্মক মান। উদাহরণ: 0 – 5 = 5

5. শূন্যকে যে-কোনাে সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল সর্বদাই শূন্য। উদাহরণ : 0 \times 5 = 0

6. শূন্য দিয়ে যে-কোনাে সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল সর্বদাই শূন্য। উদাহরণ: 5 \times 0 = 0

7. শূন্যকে যে-কোনাে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সর্বদাই শূন্য। উদাহরণ: 0 \div 5 = 0

8. শূন্য দিয়ে যে-কোনাে সংখ্যাকে ভাগ করলে ভাগফল সর্বদাই অসীম (infinity)। উদাহরণ:  5 \div 0 = \infty

9. শূন্যকে শূন্য দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল অসংজ্ঞাত (undefined)। উদাহরণ: 0 \div 0 = অসংজ্ঞাত

10. যে-কোনাে সংখ্যার ঘাত (power) শূন্য হওয়ার অর্থ ফল সর্বদাই 1। উদাহরণ: 5^{0} = 1

যুগ্ন ও অযুগ্ম সংখ্যা-সংক্রান্ত টিপস

1. যুগ্ম বা জোড় সংখ্যার সাধারণ রূপ। 2m; যেখানে m যে-কোনাে পূর্ণসংখ্যা।

2. অযুগ্ম বিজোড় সংখ্যার সাধারণ রূপ = (2m + 1);যেখানে m যে-কোনাে পূর্ণসংখ্যা।

3. দুটি যুগ্ম সংখ্যার যােগফল ও বিয়ােগফল সর্বদাই যুগ্মসংখ্যা। উদাহরণ: 2 + 4 = 6; 8 – 2 = 6

4. দুটি অযুগ্ম সংখ্যার যােগফল ও বিয়ােগফল সর্বদাই যুগ্মসংখ্যা। উদাহরণ: 3+ 5 = 4; 9 – 3 = 6

5. একটি যুগ্ম ও একটি অযুগ্ম সংখ্যার যােগফল ও বিয়ােগফল সর্বদাই অযুগ্ম সংখ্যা। উদাহরণ: 4 + 5 = 9; 9 -4 = 5

6. দুটি যুগ্ম সংখ্যার গুণফল ও ভাগফল সর্বদা যুগ্ম সংখ্যা। উদাহরণ: 12 × 8 = 96;  8 \div 2 = 4

7. দুটি অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল ও ভাগফল সর্বদা অযুগ্ম সংখ্যা। উদাহরণ: 15 × 7 = 105; 15 \div 5 = 3

8. একটি যুগ্ম ও একটি অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল সর্বদা যুগ্ম সংখ্যা। উদাহরণ: 18 × 5 = 90

0 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যা-সংক্রান্ত টিপস

1. মােট অঙ্ক সংখ্যা = 192 টি

2. শূন্য (0)-এর সংখ্যা = 12 টি

3. 1-এর সংখ্যা = 21 টি

4. 2 থেকে এ পর্যন্ত প্রতিটি অঙ্কের সংখ্যা = 20 টি

5. পূর্ণবর্গ সংখ্যার সংখ্যা = 9 টি

6. প্রথম পূর্ণসংখ্যা = 0 কিন্তু প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যা = 1

বিভাজ্যতা সংক্রান্ত টিপস

1. 2 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির শেষ বা এককের অঙ্ক শূন্য বা কোনাে জোড় অঙ্ক হয়।

উদাহরণ: 650, 732, 956 ইত্যাদি সংখ্যাগুলির একক অঙ্ক যথাক্রমে 0, 2, 6; যেগুলি 0 বা জোড় সংখ্যা। সুতরাং, সংখ্যাগুলি 2 দিয়ে বিভাজ্য।

2. 3 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সমষ্টি 3 দিয়ে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 542367 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির সমষ্টি = 5 + 4 + 2 + 3 + 6 +7 = 27,যা 3 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 3 দিয়ে বিভাজ্য।

3. 4 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির শেষ দুটি অঙ্ক শূন্য হয় অথবা 4 দিয়ে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 53600, 65724 সংখ্যা দুটির শেষ দুটি অঙ্ক যথাক্রমে 00 ও 24। সুতরাং, সংখ্যা দুটি 4 দিয়ে বিভাজ্য।

4. 5 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির শেষ বা এককের অঙ্ক 0 অথবা 5 হয়।

উদাহরণ : 36590, 5285 সংখ্যা দুটির শেষ বা এককের অঙ্ক যথাক্রমে 0 ও 5। সুতরাং, সংখ্যা দুটি 5 দিয়ে বিভাজ্য।

5. 6 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটি 2 এবং 3 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 56754 সংখ্যাটি 2 ও 3 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য [এককের অঙ্ক 4 বলে 2 দিয়ে বিভাজ্য ও অঙ্কগুলির যােগফল (= 5 + 6 +7+ 5 + 4 = 27), 3 দিয়ে বিভাজ্য] বলে সংখ্যাটি 6 দিয়ে বিভাজ্য।

6. 7 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির ডানদিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে গঠিত অঙ্কগুলির জোড় স্থান ও বিজোড় স্থানের যােগফলের বিয়ােগফল 0 হয় অথবা 7 দ্বারা
বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ :  \overline{264} \; \overline{389} \; \overline{132}  সংখ্যাটির ডানদিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে বিজোড় স্থানের যােগফল (132 + 264) = 396 এবং জোড় স্থানের যােগফল = 389

এক্ষেত্রে, বিয়ােগফল = 396 – 389 = 7, যা 7 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 7 দিয়ে বিভাজ্য।

7. 8 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক 000 হয় অথবা 8 দিয়ে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 45000, 726824 সংখ্যা দুটির শেষ তিনটি অঙ্ক যথাক্রমে 000 ও 824, যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং সংখ্যা দুটি 8 দিয়ে বিভাজ্য।

8. 9 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যােগফল 9 দিয়ে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 74313 সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যােগফল = 7 + 4 + 3 +1+ 3 = 18, যা 9 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 9 দিয়ে বিভাজ্য।

9. 10 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির শেষ বা এককের অঙক শূন্য হয়।

উদাহরণ: 87560 সংখ্যাটির শেষ বা এককের অঙ্ক 0; সুতরাং, সংখ্যাটি 10 দিয়ে বিভাজ্য।

10. 11 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির বিজোড় ঘরের অঙ্কগুলির যােগফল জোড় ঘরের অঙ্কগুলির যােগফলের সমান হয় বা তাদের পার্থক্য 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 4533782 সংখ্যাটির বিজোড় স্থানের  অঙ্কগুলির যােগফল জোড় ঘরের অঙ্কগুলির যােগফলের সমান হয় বা তাদের পার্থক্য 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়। অঙ্কগুলির যােগফল = 2 +7+ 3 + 4 = 16 এবং জোড় স্থানের অঙ্কগুলির। যােগফল = 8 + 3 + 5 = 16; এক্ষেত্রে, বিয়ােগফল = 16 – 16 = 0। সুতরাং, সংখ্যাটি 11 দিয়ে বিভাজ্য।

11. 12 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটি 3 ও 4 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 1056 সংখ্যাটি 3 ও 4 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 12 দিয়ে বিভাজ্য।

12. 13 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির ডানদিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে গঠিত অঙ্কগুলির জোড় স্থান ও বিজোড় স্থানের যােগফলের বিয়ােগফল 0 হয় অথবা 13
দ্বারা বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ:  \overline{256} \; \overline{916} \; \overline{738} সংখ্যাটির ডানদিক থেকে তিনটি করে অঙ্ক নিয়ে বিজোড় স্থানের যােগফল (738 + 256) = 994 এবং জোড় স্থানের যােগফল = 916;

সুতরাং, বিয়ােগফল। (994 – 916) দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 13 দিয়ে বিভাজ্য।

13. 14 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটি 2 ও 3 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 1736 সংখ্যাটি 2 ও 7 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 14 দিয়ে বিভাজ্য।

14. 15 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটি 3 ও 5 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 3375 সংখ্যাটি পৃথকভাবে 3 ও 5 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 15 দিয়ে বিভাজ্য।

15. 16 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির শেষ চারটি অঙ্ক দিয়ে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 199296 সংখ্যাটির শেষ চারটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা 9296, যা 16 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 16 দিয়ে বিভাজ্য।

16. 17 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির ডানদিকের শেষ অঙ্কের সঙ্গে 5 গুণ করে, গুণফলটি বাকি অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত সংখ্যার থেকে বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল 17 দিয়ে
বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 8908 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে (890 – 8 × 5) = 850, 85 – 5 × 0 = 85, যা 17 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 17 দিয়ে বিভাজ্য।

17. 18 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটি 2 ও 9 দিয়ে পৃথকভাবে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 40446 সংখ্যাটি 2 ও 9 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 18 দিয়ে বিভাজ্য।

18. 20 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি কোনাে সংখ্যার একক অঙ্ক 0 এবং ডানদিকের দুটি অঙ্কের দ্বারা গঠিত সংখ্যা 4 দিয়ে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 9180 সংখ্যাটির একক অঙ্ক 0 এবং সংখ্যাটির ডানদিকের দুটি অঙ্কের দ্বারা গঠিত সংখ্যা 80, যা 4 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 20 দিয়ে বিভাজ্য।

19. 25 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির ডানদিকের শেষ দুটি অঙ্ক 25, 50, 75 বা 00 হয়।

উদাহরণ: 56375 সংখ্যাটির ডানদিকের শেষ দুটি অঙ্ক 75। সুতরাং, সংখ্যাটি 25 দ্বারা বিভাজ্য।

20. 125 দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক 000 হয় বা 125 দিয়ে বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ: 750001250 সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক 125 দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটি 125 দিয়ে বিভাজ্য।

21. যে-কোনাে ছয় অঙ্কের সংখ্যা একই অঙ্কবিশিষ্ট হলে সংখ্যাটি 3,7, 11, 13, 37,39 দিয়ে বিভাজ্য হবে।

উদাহরণ: 111111, 222222, 333333 ইত্যাদি।

22. যে-কোনাে দুই অঙ্কের সংখ্যা পরপর তিনবার থাকলে সংখ্যাটি 3, 7, 13, 31, 39 দিয়ে বিভাজ্য হবে।

উদাহরণ: 252525, 191919, 454545 ইত্যাদি।

23. যে-কোনাে তিন অঙ্কের সংখ্যা পরপর দুবার থাকলে সংখ্যাটি 0 ও 13 দিয়ে বিভাজ্য হবে।

উদাহরণ: 456456, 512512 ইত্যাদি।

24. পরপর যে-কোনাে দুটি সংখ্যার গুণফল সর্বদা 1 × 2 = 2 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 48 × 49, 1 × 2 = 2 দ্বারা বিভাজ্য।

25. পরপর যে-কোনাে তিনটি সংখ্যার গুণফল সর্বদা 1 × 2 × 3 = 6 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 25 × 26 × 27, 1 × 2 × 3 = 6 দ্বারা বিভাজ্য।

26. পরপর যে-কোনাে চারটি সংখ্যার গুণফল সর্বদা 1 × 2 × 3 × 4 = 24 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 11 × 12 × 13 × 14, 1 × 2 × 3 × 4 = 24 দ্বারা বিভাজ্য।

27. পরপর যে-কোনাে পাঁচটি সংখ্যার গুণফল সর্বদা 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 19 × 20 × 21 × 22 × 23, 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 দ্বারা বিভাজ্য।

28. পরপর তিনটি সংখ্যার যােগফল সর্বদা 3 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: (5 + 6 +7), 3 দ্বারা বিভাজ্য।

29. যে-কোনাে দুই অঙ্কের সংখ্যা ও সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের স্থান পরিবর্তনকারী সংখ্যার যােগফল সর্বদা 11 দ্বারা বিভাজ্য এবং বিয়ােগফল সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: (72 + 27), 11 দ্বারা ও (72 -27), 9 দ্বারা বিভাজ্য।

30. যে-কোনাে তিন অঙ্কের সংখ্যা থেকে সংখ্যাটির অঙ্ক সমষ্টি বিয়ােগ করলে, বিয়ােগফল সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

উদাহরণ: 235 – (2 + 3 + 5) = 225, 9 দ্বারা বিভাজ্য।